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23．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC． （1）求证：△BDA≌△CEA； （2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 分析： （1）易证∠ACE=∠CBD，BC=AC，即可证明△BDA≌△CEA，即可解题； （2）根据（1）中结论可得AE=CD，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质可得DE=AD，即可解题． 解答： 证明：（1）∵D是AC中点， ∴∠CBD=∠ABD=30°，∠BDA=90°， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACE=30°， 在△BDA和△CEA中， ， ∴△BDA≌△CEA（AAS）； （2）∵△BDA≌△CEA， ∴AE=CD， ∵RT△AEC中，∠ACE=30°， ∴DE= AC=AD， ∵AD=CD， ∴AD=DE=AE． 点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDA≌△CEA是解题的关键． 24．如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD． （1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长． （2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由． （3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= ．（请直接写出答案） 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用． 分析： （1）根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论； （2）延长线段AP、DC交于点E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在证明△APB≌△EPC就可以得出结论； （3）连接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论． 解答： 解：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°， ∴AP2=AB2+BP2， ∴ ， ∴AP+AB+BP= ， ∴△APB的周长为 ； （2）PB=PC， 理由如下： 延长线段AP、DC交于点E ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠EDP． ∵DP⊥AP， ∴∠DPA=∠DPE=Rt∠． 在△DPA和△DPE中， ， ∴△DPA≌△DPE（ASA）， ∴PA=PE． ∵AB⊥BP，CM⊥CP， ∴∠ABP=∠ECP=Rt∠． 在△APB和△EPC中， ， ∴△APB≌△EPC（AAS）， ∴PB=PC； （3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°， ∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°． ∵DP⊥AP， ∴∠APD=90°， ∵∠APB+∠DPC=90°． ∴∠APB=45°° ∵AB⊥BC， ∴∠B=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°， ∴∠BAP=45°， ∴∠BAP=∠BPA， ∴AB=PB=1． ∴PC=3 ∵点B与点B′关于AP 对称， ∴△ABP≌AB′P， ∴BP=PB′=1．AB=AB′． ∵∠B=90°， ∴四边形ABPB′是正方形， ∴∠BPB′=90°， ∴∠B′PC=90°， ∵B′E⊥CD， ∴∠B′EC=90°． ∴四边形B′PCE是矩形， ∴PB′=CE=1，B′E=PC=3 ∴DE=2， 在Rt△B′DE中，由勾股定理，得 B′D= ． 故答案为： ． 点评： 本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，矩形的性质的运用，解答时正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是关键． (责任编辑：admin) |