|
22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF． （1）求证：∠ECF=90°； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩 形？请说明理由； （3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件： ∠ACB为直角的直角三角形 ，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明） 考点： 正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定． 分析： （1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO． （2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形． （3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形． 解答： （1）证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∴∠ECF= ×180°=90°； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； 又∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴四边形AECF是矩形； （3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． ∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， 已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则 ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 故答案为：∠ACB为直角的直角三角形． 点评： 此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，确定（2）（3）的条件． (责任编辑：admin) |