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18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 考点： 正方形的判定；平行四边形的判定． 分析： （1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案； （2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案． 解答： （1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到， ∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线， 且AE=CE，DE=FE， 故四边形ADCF是平行四边形． （2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形． 理由如下： 在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD， ∴CD⊥AB，即∠ADC=90°． 而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形， ∴四边形ADCF是矩形． 又∵∠ACB=90°， ∴ ， 故四边形ADCF是正方形． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键． 19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧 交于M、N两点，连接MN，交AB于点D 、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：△AED≌△BFD； （2）若AB=2，当CD的值为 1 时，四边形DECF是正方形． 考点： 正方形的判定；全等三角形的判定． 分析： （1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB，AD=BD，由等边对等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD； （2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，则∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩形DECF是正方形． 解答： （1）证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线， ∵C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D， ∴CA=CB，AD=BD， ∴∠A=∠B． 在△AED与△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（AAS）； （2）解：若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．理由如下： ∵AB=2， ∴AD=BD= AB=1． ∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB， ∴ △ACD与△BCD都是等腰直角三角形， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°， ∵∠DEC=∠DFC=90°， ∴四边形DECF是矩形，∠CDE=90°﹣45°=45°， ∴∠ECD=∠CDE=45°， ∴ED=CE， ∴矩形DECF是正方形． 故答案为1． 点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中． (责任编辑：admin) |