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20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F． （1）求证：∠CAB=∠DAB； （2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形． 考点： 正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据AB是CD的垂直平分线，得到AC=AD，然后利用三线合一的性质得到∠CAB= ∠DAB即可； （2）首先判定四边形AEMF是矩形，然后证得ME=MF，利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可． 解答： （1）证明：∵AB是CD的垂直平分线， ∴AC=AD， 又∵AB⊥CD ∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）； （2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°， 即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°， ∴四边形AEMF是矩形， 又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD， ∴ME=MF， ∴矩形AEMF是正方形． 点评： 本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强，难度不大． 21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明； （2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ （3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE 不可能 是菱形吗？（填“可能”或“不可能”） 考点： 正方形的判定；菱形的判定． 分析： （1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC； （2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直． 解答： 解：（1）OE=OF．理由如下： ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ACE=∠BCE， 又∵MN∥BC， ∴∠NEC=∠ECB， ∴∠NEC=∠ACE， ∴OE=OC， ∵OF是∠BCA的外角平分线， ∴∠OCF=∠FCD， 又∵MN∥BC， ∴∠OFC=∠ECD， ∴∠OFC=∠COF， ∴OF=OC， ∴OE=OF； （2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO， 又∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO=CO， ∴AO=CO=EO=FO， ∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形． 已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则 ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形； （3）不可能．理由如下： 如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°， 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC， 但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形． 故答案为不可能． 点评： 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． (责任编辑：admin) |