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三．解答题（共8小题） 15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形． 考点： 正方形的判定． 专题： 证明题． 分析： 由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形． 解答： 解：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEB=∠DFB=90°， 又∵∠ABC=90°， ∴四边形BEDF为矩形， ∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF， ∴矩形BEDF为正方形． 点评： 本题考查正方形的判定、角平分线 的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形． 16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形． 解答： 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE=AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 考点： 正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 专题： 几何综合题． 分析： （1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可． 解答： （1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE=AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB=90°，D为AB中点， ∴CD=BD， ∴四边形BECD是菱形； （3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠ABC=∠A=45°， ∴AC=BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵四边形BECD是菱形， ∴四边形BECD是正方形， 即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形． 点评： 本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． (责任编辑：admin) |