|
17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？ 考点： 正方形的判定与性质． 分析： 根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“边角边”证明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形对应角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，从而得到四边形EFGH是正方形． 解答： 解：四边形EFGH是正方形． 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH， 即BE=CF=DG=AH， ∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH， ∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH， ∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°， ∴四边形EFGH是正方形． 点评： 本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出被截取的四个小直角三角形全等是解题的关键． 18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G． （1）求证：AF﹣BF=EF； （2）四边形EFGH是什么四边形？并证明； 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质； 分析： （1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论； （2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案； 解答： （1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H， ∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°， 又∵∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF， 在△AED和△BFA中， ， ∴△AED≌△BFA， ∴AE=BF， ∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF； （2）证明： ∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC， ∴△AED≌△BFA≌△DHC， ∴DH=AE=BF，AF=DE=CH， ∴DE﹣DH=AF﹣AE， ∴EF=EH， ∴矩形EFGH是正方形； 19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由． 考点： 正方形的判定；角平分线的性质． 分析： 首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形． 解答： 证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴四边形DECF为矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D， ∴DF=DE， ∴四边形CFDE是正方形． 点评： 本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形CFDE是正方形． 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形． 考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 由题意先证明□AEDF是矩形，再根据两角及其一角的对边对应相等来证△BDE≌△CDF，根据有一组对边相等的矩形证明□AEDF是正方形． 解答： 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF是矩形 在△BDE和△CDF中 ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D是BC的中点 ∴BD=DC ∴△BDE≌△CDF ∴DE=DF ∴□AEDF是正方形 点评： 本题考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质． (责任编辑：admin) |