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15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线 AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析： （1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可； （2）证明思路同（1） 解答： （1）PB=PQ， 证明：过P作PE⊥BC ，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ； （2）PB=PQ， 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ． 点评： 此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想． 16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形． 考点： 正方形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： 可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，进而可得其为正方形． 解答： 证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2， ∴∠QMN=∠P=∠N=90°， ∴四边形PQMN为矩形， ∵AB=AD，∠M=∠N=90° ∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°， ∴∠ADN=∠BAM， 又∵AD=BA， ∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS）， ∴AM=DN 同理AN=DP， ∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN． ∴四边形PQMN是正方形． 点评： 本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的性质和判定方法． (责任编辑：admin) |