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13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理 由． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析： （1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE； （2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可． 解答： （1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中 ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF=DE； （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE= AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴得平行四边形AFBE， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 点评： 本题考查了正方 形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质． 14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF． （1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积； （3）当DG为何值时，△FCG的面积最小． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积； （3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤ ，从而可得当x= 时，△GCF的面积最小． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形， ∴∠D=∠A=9 0°，HG=HE，又AH=DG=2， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL）， ∴∠DHG=∠HEA， ∵∠AHE+∠HEA=90°， ∴∠AHE+∠DHG=90°， ∴∠EHG=90°， ∴四边形HEFG为正方形； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG=∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠MGF， 在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG， ∴△AHE≌△MFG， ∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此 ； （3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7， ∴HE2≤53， ∴x2+16≤53， ∴x≤ ， ∴S△FCG的最小值为 ，此时DG= ， ∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（ ）． 点评： 本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角． (责任编辑：admin) |