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三．解答题（共11小题） 10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′． 求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 依据三角形的内角和定理可以判定四边形A′B′C′D′的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形． 解答： 证明：在正方形ABCD中， ∵在△ABF和△BCG中， ∴△ABF≌△BCG（SAS） ∴∠BAF=∠GBC， ∵∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠GBC+∠AFB=90°， ∴∠BB′F=90°， ∴∠A′B′C′=90°． ∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°， ∴四边形A′B′C′D′是矩形． ∵在△AB′B和△BC′C中， ∴△AB′B≌△BC′C（AAS）， ∴AB′=BC′ ∵在△AA′E和△BB′F中， ∴△AA′E≌△BB′F（AAS）， ∴AA′=BB′ ∴A′B′=B′C′ ∴矩形A′B′C′D′是正方形． 点评： 本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形． 11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 专题： 探究型． 分析： 猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC，过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG≌△CHG即可． 解答： 猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC， 证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G． 则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD， ∵∠MEG=∠NED，ME=NE， ∴△MEG≌△NED， ∴MG=DN． ∵BM=DN， ∴MG=BM． 作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°， ∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°， ∴四边形MBHG是矩形． ∵MG=MB， ∴四边形MBHG是正方形， ∴MG=GH=BH=MB， ∠AMG=∠CHG=90°， ∴AM=CH， ∴△AMG≌△CHG． ∴GA=GC． 又∵DA=DC， ∴DG是线段AC的垂直平分线． ∵∠ADC=90°，DA=DC， ∴DF= AC 即线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC． 点评： 本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力． (责任编辑：admin) |