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12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF． （1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形； （2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积． 考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）由于 四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形； （2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得． 解答： （1）证明：在△HDG和△AEH中， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG=HE， ∵DG=AH=2， ∴Rt△HDG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH， ∴∠DHG+∠AHE=90° ∴∠GHE=90°， ∴菱形EFGH为正方形； （2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE ∵CD∥AB， ∴∠AEG=∠MGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠FGM， 在Rt△AHE和Rt△GFM中， ∵ ， ∴Rt△AHE≌Rt△GFM， ∴MF=2， ∵DG=x， ∴CG=6﹣x． ∴S△FCG= CG?FM=6﹣x． 点评： 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角． (责任编辑：admin) |