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23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． （3）当点O在边AC上运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ 考点： 正方形的判定；矩形的判定． 分析： （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案； （2）根据AO=CO，EO=FO可得四边形AECF平行四边形，再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形，首先证明为矩形，再证明AC⊥EF根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论． 解答： （1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，∠4=∠6， ∵MN∥BC， ∴ ∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC 的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，若∠ACB=90°，四边形AECF为正方形． 证明：由（2）可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形， ∵∠ACB=90°， ∴∠2=45°， ∵平行四边形AECF是矩形， ∴EO=CO， ∴∠1=∠2=45°， ∴∠MOC=90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 点评： 此题主要考查了矩形和正方形的判定，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 24．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形． 考点： 正方形的判定；矩形的判定． 分析： （1）利用角平分线的性质的得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE与OF的大小关系； （2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可； （3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案． 解答： （1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2， ∴EO=CO，同理，FO=CO， ∴EO=FO． （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= ×180°=90°． 即∠ECF=90度，∴平行四边形AECF是矩形． （3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF会是正方形， 理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∵∠ACB=90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°， ∴AC⊥MN， ∴四边形AECF是正方形． 点评： 此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键． (责任编辑：admin) |