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16．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题： （1）求证：四边形AFED是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？ （4）对于任意△ABC，?AFED是否总存在？ 考点： 矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 分析： （1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明． （2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数． （3）AB=AC，根据菱形的判定推出即可； （4）当∠BAC=60°时四边形不存在． 解答： （1）证明：四边形ADEF是平行四边形． 理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形， ∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°， ∴∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA， ∴∠DBE=∠ABC， ∴△DBE≌△ABC， ∴DE=AC， 又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF， ∴DE=AF． 同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA． ∵DE=AF，DA=EF， ∴四边形ADEF为平行四边形； （2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°， ∵∠DAB=∠FAC=60°， ∴∠BAC=360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°， ∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形； （3）解： 当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形， ∵此时AB=AC=AF=AD，四边形AFED是平行四边形， ∴四边形AFED是菱形； （4）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在． 点评： 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形． 17．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 考点： 矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得． 解答： 解：四边形ABCD是矩形， 理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高， ∴EC=CD， ∵四边形ABEC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC=BE，BE=BD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形． 点评： 本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平 行四边形是矩形． (责任编辑：admin) |