|
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF（故①正确）． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°（故②正确）， ∵BC=CD， ∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．（故③正确）． 设EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x， AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x﹣x≠x，（故④错误）， ∵S△CEF=， S△ABE==， ∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正确）． 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 点评： 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围为x≥． 考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 解答： 解：根据题意得：1+2x≥0， 解得x≥﹣． 故答案为：x≥﹣． 点评： 本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． (责任编辑：admin) |