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24．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM； （2）AD与MC垂直吗？并说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案； （2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案． 解答： （1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点， ∴DF⊥AE，DF=AF=EF， 又∵∠ABC=90°， ∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中， ， ∴△DFC≌△AFM（AAS）， ∴CF=MF， ∴∠FMC=∠FCM； （2）AD⊥MC， 理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC， ∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM， ∴AD⊥MC． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． 25．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，另一点Q由点B开始沿BC边向点C以1.5cm/s的速度运动． （1）20s后，点P与点Q之间相距 50 cm． （2）在（1）的条件下，若P、Q两点同时相向而行， 20 秒后两点相遇． （3）多少秒后，AP=CQ？ 考点： 勾股定理；一元一次方程的应用． 专题： 动点型． 分析： （1）在直 角△BPQ中，根据 勾股定理来求PQ的长度； （2）由（1）中的PQ= 50得到：50=（1+1.5）t； （3）由路程=时间×速度列出等式． 解答： 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，BC=80cm， ∴AB= =60cm． （1）在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ= = =50（cm），即PQ=50cm； （2）由（1）知，PQ=50cm，则P、Q两点同时相向而行时，两点相遇的时间为： =20（秒）； （3）设t秒后，AP=CQ．则 t=80﹣1.5t， 解得 t=32． 答：32秒后，AP=CQ． 故答案是：（1）50 （2）20 （3）32． 点评： 本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义．解题时，需要熟悉路程=时间×速度，以及变形后的公式． 26．如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB． （1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP= 2 ； （2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB； （3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质． 专题： 综合题． 分析： （1）易证△AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值； （2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到△OBP≌△ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB； （3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10． 解答： 解：（1）∵点A是线段OB的垂直平分线上一点， ∴AO=AB． ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°． ∴∠OPB=∠OAB=60°． ∵BO⊥ON，即∠POB=90°， ∴∠OBP=30°， ∴OP= PB= ×4=2． 故答案为2； （2）证明：如图①， 由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°， ∴∠ABP=∠ABO﹣∠OBP=30°=∠OBP． 在△OBP和△ABP中， ， ∴△OBP≌△ABP（SAS）， ∴OP=AP=2， ∴PA+PO=4=PB； （3）延长ON、BA交于点D，如图②． ∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO． ∵∠DOB=90°， ∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°， ∴∠D= ∠AOD， ∴AD=AO． ∵AN⊥OD， ∴DN=ON=5． ∵∠OPB=∠OAB， ∴∠AOD=∠PBD， ∴∠D=∠PBD， ∴PD=PB， ∴PO+PB=PO+PD=OD=10． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到△OBP≌△ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键． (责任编辑：admin) |