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20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 专题： 证明题． 分析： 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证． 解答： 证明：连接AD， 在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（SSS）， ∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF， ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE=DF． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，又CD=3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用． 考点： 作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题． 专题： 作图题． 分析： 作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低． 解答： 解：如图所示，点O就是建水厂的位置， ∵AC=1km，BD=3km，CD=3km， ∴AE=AC+CE=AC+DB′=AC+BD=1+3=4km， B′E=CD=3km， AB′= = =5km， 铺设水管长度为：AO+OB=AO+OB′=AB′=5km， ∵铺设水管的工程费用为每千米20 000元， ∴铺设水管的总费用为：5×20 000=100 000元． 故答案为：100 000元． 点评： 本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键． 22．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由． 考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 探究型． 分析： 要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形． 解答： 解：△AFC是等腰三角形．理由如下： 在△BAD与△BCE中， ∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE， ∴△BAD≌△BCE（AAS）， ∴BA=BC，∠BAD=∠BCE， ∴∠BAC=∠BCA， ∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA． ∴AF=CF， ∴△AFC是等腰三角形． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键． 23．如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 解答： 证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， ∴BM=DM= AC， ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． (责任编辑：admin) |