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27．如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，∠C=∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点． 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题：证明题． 分析：连接AD、BD．易证△ADE≌△DBC，再根据全等三角形的性质可得AD=DB，即△ABD是等腰三角形，而DM⊥AB，利用等腰三角形三线合一定理可得M是AB中点． 解答： 证明：连接AD、BD， ∵ ， ∴△ADE≌△DBC（SAS）， ∴AD=BD， 又∵DM⊥AB， ∴M是AB的中点． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形三线合一定理；作出辅助线是正确解答本题的关键． 28．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由． 考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质． 分析：连接OA．先证得△OAN≌△OBM，然后根据全等三角形的对应边相等推知OM=ON；然后由等腰直角三角形ABC的性质、等腰三角形OMN的性质推知∠NOM=90°，即△OMN是等腰直角三角形． 解答： 解：△OMN是等腰直角三角形． 理由：连接OA． ∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点， ∴AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）； ∠B=∠C=45°； 在△OAN和OBM中， ， ∴△OAN≌△OBM（SAS）， ∴ON=OM（全等三角形的对应边相等）； ∴∠AON=∠BOM（全等三角形的对应角相等）； 又∵∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形． 点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC． 29．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 + 的最小值． 考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理． 分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得； （2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 + 的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可 求得AE的值． 解答： 解：（1）AC+CE= + ； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3， 连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数 + 的最小值． 过点A作AF ∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5， 所以AE= = =13， 即 + 的最小值为13． 故代数式 + 的最小值为13． 点评：此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如 的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． (责任编辑：admin) |