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24．已知，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E、F在AC上，且AE=CF．图中有哪些三角形全等？请分别加以证明． 考点：全等三角形的判定． 分析：根据SSS先证明△ABC≌△ADC，得∠BAC=∠DCA，根据平行线的判定得AB∥CD，即可得出△ABE≌△CDF，△EBC≌△FDA． 解答： 解：全等三角形有三对：△ABC≌△ADC，△ABE≌△CDF，△EBC≌△FDA． 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DCA， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE=DF， ∵AE=CF， ∴AF=CE， 在△EBC和△FDA中， ， ∴△BCE≌△DAF（SSS）． 点评：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 25．某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°，AB=3m，BC=4m，AD=12m，CD=13m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？ 考点：勾股定理的应用；三角形的面积． 专题：应用题． 分析：仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得三角形DAC为一直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求解． 解答： 解：连接AC， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=52， ∴AC=5． 在△DAC中，CD2=132，AD2=122， 而122+52=132， 即AC2+AD2=CD2， ∴∠DCA=90°， S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC= ?BC?AB+ DC?AC， = ×4×3+ ×12×5=36． 所以需费用36×100=3600（元）． 点评：本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 26．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△CAQ； （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ； （2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形． 解答： 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）， （2）∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形． 点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键． (责任编辑：admin) |