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17．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ； ②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由． 考点： 四边形综合题． 分析： （1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ； （2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案； ②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状． 解答： （1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°， ∴∠BCP=∠DCQ， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ； （2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE， ∴∠DEF=∠BCF=90°， ∴BE⊥DQ； ②∵△BCP为等边三角形， ∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD， ∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°， ∴∠EPD=45°，∠EDP=45°， ∴△DEP为等腰直角三角形． 点评： 本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键． 18．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值； （2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值． 解答： 解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得 ， 解得 ． 故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3． （2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC， ∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3． 整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1± ． 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+ ，﹣4）或（﹣1﹣ ，﹣4）； （3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得 ， 解得 ． 即直线AC的解析式为y=x+3． 设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ， ∴当x=﹣ 时，QD有最大值 ． 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． (责任编辑：admin) |