无锡市2015初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)(4)
http://www.newdu.com 2024/11/26 04:11:18 新东方 佚名 参加讨论
8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DF=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；证△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④． 【解答】解：如图， 过E作EQ⊥AB于Q， ∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB， ∴CE=EQ， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵EQ⊥AB， ∴∠EQA=∠EQB=90°， 由勾股定理得：AC=AQ， ∴∠QEB=45°=∠CBA， ∴EQ=BQ， ∴AB=AQ+BQ=AC+CE， ∴③正确； 作∠ACN=∠BCD，交AD于N， ∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD， ∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD， ∴∠DBC=∠CAD， 在△ACN和△BCD中， ， ∴△ACN≌△BCD， ∴CN=CD，AN=BD， ∵∠ACN+∠NCE=90°， ∴∠NCB+∠BCD=90°， ∴∠CND=∠CDA=45°， ∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN， ∴AN=CN， ∴∠NCE=∠AEC=67.5°， ∴CN=NE， ∴CD=AN=EN= AE， ∵AN=BD， ∴BD= AE， ∴①正确，②正确； 过D作DH⊥AB于H， ∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°， ∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°， ∴∠FCD=∠DBA， ∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB， ∴DF=DH， 在△DCF和△DBH中 ， ∴△DCF≌△DBH， ∴BH=CF， 由勾股定理得：AF=AH， ∴ = = = =2， ∴AC+AB=2AF， AC+AB=2AC+2CF， AB﹣AC=2CF， ∵AC=CB， ∴AB﹣CB=2CF， ∴④正确． 故选D 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． (责任编辑：admin) |