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18．已知：如图，M为?ABCD的AD边上的中点，且MB=MC， 求证：?ABCD是矩形． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： 根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A+∠D=180°，所以是矩形． 解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD． ∵AM=DM，MB=MC， ∴△ABM≌△DCM． ∴∠A=∠D． ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°． ∴?ABCD是矩形． 点评： 此题主要考查了矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形． 19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积． 考点： 矩形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析： 如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD 的面积是两个三角形的面积之差． 解答： 解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE， 由等腰直角三角形的性质得： DE=AD=2， BE=CB=4， 那么四边形ABCD的面积是： 4×4÷2﹣2×2÷2 =8﹣2 =6． 答：四边形ABCD的面积是6． 点评： 此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键． 20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG． （1）求证：AC=FG． （2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？ 考点： 矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 证明题． 分析： 先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形． 解答： （1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC， ∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB， ∴AB=AC； AF是BC边上的中线， ∴AF⊥BC， ∵CG⊥AD，AD∥BC， ∴CG⊥BC， ∴AF∥CG， ∴四边形AFCG是平行四边形， ∵∠AFC=90°， ∴四边形AFCG是矩形； ∴AC=FG． （2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形AFCG是矩形， ∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰． (责任编辑：admin) |