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26．定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形． （1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2； ①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S1=S2； ②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由． （2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值． 考点： 四边形综合题． 分析： （1）①由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，即可得出△ABC≌△DFC而得出结论； ②如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论； （2）根据（1）可以得出S=3S△ABC，要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠ACB=90°时S△ABC最大，即可求出结论． 解答： （1）①证明：∵正方形ACDE和正方形BCFG， ∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCF=90°， ∴∠ACB=∠DCF=90°． 在△ABC和△DFC中， ， ∴△ABC≌△DFC（SAS）． ∴S△ABC=S△DFC， ∴S1=S2． ②解：S1=S2． 理由如下： 如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q． ∴∠APC=∠DQC=90°． ∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形， ∴AC=CD，BC=CF， ∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°． ∴∠ACP=∠DCQ． 在△APC和△DQC中， ， ∴△APC≌△DQC（AAS）， ∴AP=DQ． ∴BC×AP=DQ×FC， ∴BC×AP=DQ×FC ∵S1=BC×AP，S2=FC×DQ， ∴S1=S2； （2）解：S的值是否发生变化；S的最大值为18；理由如下： 由（1）得，S是△ABC面积的三倍， 要使S最大，只需△ABC的面积最大， ∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°时，S有最大值． 此时，S=3S△ABC=3××3×4=18． 点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． (责任编辑：admin) |