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26．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G． （1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论； （2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长． 考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 解答： 解：（1）GF=GC． 理由如下：连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE=EF， ∴EF=EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C=90°， ∴∠EFG=90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF=GC； （2）设 GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x， 在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2， 解得x= ． 点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的 ． （1）求点D的坐标； （2）过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E． ①求证：OF=OG； ②求点F的坐标． （3）在（2）的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形． 分析： （1）作DH⊥AB于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ABC=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出BH的值，从而求出D的坐标； （2）①根据OA=OC，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△COF，就可以得出OF=OG； ②由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标． （3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M，由△PHC≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OB于H，由△COF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OC于H，由△COF≌△PHC就可以得出结论． 解答： 解：（1）作DH⊥AB于H， ∴∠AHD=∠BHD=90°． ∵OA=OB=OC=6， ∴AB=12， ∴S△ABC= =36， ∵△ABD的面积为△ABC面积的 ． ∴ ×36= ， ∴DH=2． ∵OC=OB， ∴∠BCO=∠OBC． ∵∠BOC=90°， ∴∠BCO=∠OBC=45°， ∴∠HDB=45°， ∴∠HDB=∠DBH， ∴DH=BH． ∴BH=2． ∴OH=4， ∴D（4，2）； （2）①∵CE⊥AD， ∴∠CEG=∠AEF=90°， ∵∠AOC=∠COF=90°， ∴∠COF=∠AEF=90° ∴∠AFC+∠FAG=90°，∠AFC+∠OCF=90°， ∴∠FAG=∠OCF． 在△AOG和△COF中 ， ∴△AOG≌△COF（ASA）， ∴OF=OG； (责任编辑：admin) |