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24．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 直角梯形 ， 矩形 ； （2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB=30°，试证明；DC2+BC2=AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形） 考点： 勾股数；勾股定理． 专题： 新定义． 分析： 从平时的积累中我们就可以很快想到，正方形和矩形符合．然后根据图形作辅助线CE，看出△CBE为等边三角形，∠DCE为直角利用勾股定理进行解答即可． 解答： （1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形． （2）证明：连接CE，∵BC=BE，∠CBE=60° ∴△CBE为等边三角形， ∴∠BCE=60° 又∵∠DCB=30°∴∠DCE=90° ∴△DCE为直角三角形 ∴DE2=DC2+CE2 ∵AC=DE，CE=BC ∴DC2+BC2=AC2 点评： 此题关键为能够 看出题中隐藏的等边三角形． 25．在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，B的坐标为（4，0）． （1）求A、C的坐标及直线BC解析式． （2）△ABC是直角三角形吗？说明理由． （3）点P在直线y=2x+2上，且△ABP为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 考点： 勾股定理的逆定理；坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质． 分析： （1）利用待定系数法求出直线BC解析式即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状； （3）利用等腰三角形的性质得出AB=PB=5即可得出答案． 解答： 解：（1）∵y=2x+2中，当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， ∵当y=0时，x=﹣1， ∴A（﹣1，0）， 设直线BC解析式为y=kx+b， ∵过C（0，2），B（4，0）， ∴ ， 解得 ， ∴直线BC解析式为y=﹣ x+2； （2）∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0）， ∴AB=5，AC= ，CB= =2 ， ∵（ ）2+（2 ）2=52， ∴AC2+CB2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形； （3）如图所示： ∵点P在直线y=2x+2上，且△ABP为等腰三角形， ∴AB=PB=5， 可得点P的坐标（1，4）． 点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出是解题关键． (责任编辑：admin) |