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解答： 解：（1）答案为：=． （2）答案为：=． 证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC， ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°， ∴AE=AF=EF， ∴AB﹣AE=AC﹣AF， 即BE=CF， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE， 在△DBE和△EFC中 ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB=EF， ∴AE=BD． （3）解：分为四种情况： 如图1： ∵AB=AC=1，AE=2， ∴B是AE的中点， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ∴∠ACE=90°，∠AEC=30°， ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°， 即△DEB是直角三角形． ∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半）， 即CD=1+2=3． 如图2， 过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M， ∵等边三角形ABC，EC=ED， ∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM， ∴△BAN∽△BEM， ∴ = ， ∵△ABC边长是1，AE=2， ∴ = ， ∴MN=1， ∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ， ∴CD=2CM=1； 如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理， ∴此时不存在EC=ED； 如图4 ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ECD＞∠EDC， 即此时ED≠EC， ∴此时情况不存在， 答：CD的长是3或1． 点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． (责任编辑：admin) |