|
23．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD= AB，求证：DF⊥CE． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= AB，再求出DE=CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 解答： 证明：连接DE， ∵AD是BC边上的高，在Rt△ADB中，CE是中线， ∴DE= AB， ∵CD= AB， ∴DC=DE， ∵F是CE中点， ∴DF⊥CE． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC为边作等边△ACD，并作斜边AB的垂直平分线EH，且EB=AB，联结DE交AB于点F，求证：EF=DF． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 专题： 证明题． 分析： 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC= AB，BH= AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根据全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根据AAS推出△EHF≌△DAF，根据全等三角形的性质得出即可． 解答： 证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC= AB， ∵EH垂直平分AB， ∴BH= AB， ∴BC=BH， 在Rt△ACB和Rt△EHB中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL）， ∴EH=AC， ∵等边△ACD中，AC=AD， ∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°， 在△EHF和△DAF中， ， ∴△EHF≌△DAF （AAS） ∴EF=DF． 点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中． 四、解答题：（每题8分，共16分） 25．如图，直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y= （k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC． （1）求k的值． （2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． （3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题． （2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题． （3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题． 解答： 解：（1）设A点的坐标为（4，λ）； 由题意得： ，解得：k=8， 即k的值=8． （2）如图，设E点的坐标为E（m，n）． 则n= m，即DE= m；而OD=m， ∴S= OD?DE= m× m= ， 即S关于m的函数解析式是S= ． （3）当S=1时， =1，解得m=2或﹣2（舍去）， ∵点C在函数y= 的图象上， ∴CD= =4；由（1）知： OB=4，AB=2；BD=4﹣2=2； ∴ =6， ， =4； ∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB =6+4﹣4=6． 点评： 该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明． (责任编辑：admin) |