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26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形 （1）求该抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF； （4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2 =（ +1）2]． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式； （2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标； （3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解； （4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在． 解答： 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2， 解这个方程，得a= ， ∴抛物线的表达式为y= （x﹣2）2+1= x2﹣x+2； （2）将x=2代入y=x，得y=2 ∴点C的坐标为（2，2）即CG=2， ∵△PCQ为等边三角形 ∴∠CQP=60°，CQ=PQ， ∵PQ⊥x轴， ∴∠CQG=30°， ∴CQ=4，GQ=2 ． ∴OQ=2+2 ，PQ=4， 将y=4代入y= （x﹣2）2+1，得4= （x﹣2）2+1 解这个方程，得x1=2+2 =OQ，x2=2﹣2 ＜0（不合题意，舍去）． ∴点P的坐标为（2+2 ，4）； （3）把y=x代入y= x2﹣x+2，得x= x2﹣x+2 解这个方程，得x1=4+2 ，x2=4﹣2 ＜2（不合题意，舍去） ∴y=4+2 =EF ∴点E的坐标为（4+2 ，4+2 ） ∴OE= =4+4 ， 又∵OC= =2 ， ∴CE=OE﹣OC=4+2 ， ∴CE=EF； （4）不存在． 如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE ∵∠QCP=60°， ∴∠MCE=60° 又∵CE=EF， ∴EM=EF， 又∵点E为直线y=x上的点， ∴∠CEF=45°， ∴ 点M与点F不重合． ∵EF⊥x轴，这与"垂线段最短"矛盾， ∴原假设错误，满足条件的点M不存在． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键． (责任编辑：admin) |