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26．（14分）（2015o赤峰）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析： （1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解． 解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2 +bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据 题意，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4）， ∴CD= = ， BC= =3 ， BD= =2 ， ∵CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2=20， ∴CD2+BC2=BD2， ∴△BCD是直角三角形； （3）存在．CD2+BC2=（ ）2+（3 ）2=20，BD2=（2 ）2= y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1． ①若以CD为底边，则PD=PC， 设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式， 得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即y=4﹣x． 又P点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x=﹣x2+2x+3， 即x2﹣3x+1=0， 解得x1= ，x2= ＜1，应舍去， ∴x= ， ∴y=4﹣x= ， 即点P坐标为（ ， ）． ②若以CD为一腰， ∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称， 此时点P坐标为（2，3）． ∴符合条件的点P坐标为（ ， ）或（2，3）． 点评： 此题是一道典型的"存在性问题"，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性． (责任编辑：admin) |