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24．（12分）李老师家距学校1900 米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟． （1）求李老师步行的平均速度； （2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由． 考点： 分式方程的应用．菁优网版权所有 分析： （1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟，据此列方程求解； （2）计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可． 解答： 解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟， 由题意得， ﹣ =20， 解得：x=76， 经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意， 则5x=76×5=380， 答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分； （2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为： =12.5（分钟）， 骑车走到学校的时间为： =5， 则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23， 答：李老师能按时上班． 点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 25．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF． （1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系； （3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最 小值，最小值是多少？ 考点： 几何变换综合题． 分析： （1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE； （2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE； （3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值． 解答： 解：（1）DF=DE．理由如下： 如答图1，连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中， ， ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE； （2）DF=DE．理由如下： 如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE． ∵在△ADF与△BDE中， ， ∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE； （3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x． 依题意得：y=S△BEF+S△ABD= （2+x）xsin60°+ ×2×2sin60°= （x+1）2+ ．即y= （x+1）2+ ． ∵ ＞0， ∴该抛物线的开口方向向上， ∴当x=0即点E、B重合时，y最小值= ． 点评： 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键． (责任编辑：admin) |