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19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BD相交于点N，连接MB，ND． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB=1，AD=2，求MD的长． 考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 分析： （1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN； （2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠A=90°， ∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， 在△DMO和△BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴OM=ON， ∵OB=OD， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴平行四边形BMDN是菱形． （2）解：∵四边形BMDN是菱形， ∴MB=MD， 在Rt△AMB中，∵BM2=AM2+AB2 ∴MD2=（2﹣MD）2+12， 解得：MD= （舍去负值）， 即：MD长为 ． 点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF． （1）证明：四边形AECF为菱形； （2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的边长． 考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 分析： （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形； （2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2=x2，求出即可． 解答： （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； ∴OE=OF 又∵ OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC ∴平行四边形AECF是菱形； （2）解：设AF=x， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AF=CF=x，BF=3﹣x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， 12+（3﹣x）2=x2， 解得 x= ． 即菱形AECF的边长是 ． 点评： 本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想． (责任编辑：admin) |