|
17．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由． 考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE； （2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形； （3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD． 解答： （1）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABF和△ADF中， ， ∴△ABF≌△ADF（SAS）， ∴∠AFD=∠AFB， ∵∠AFB=∠CFE， ∴∠AFD=∠CFE； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， 又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠CAD=∠ACD， ∴AD=CD， ∵A B=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD， 理由：∵四边形ABCD为菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°， ∴∠EFD=∠BCD． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN． （1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积． 考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质． 分析： （1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形； （2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可． 解答： （1）答：四边形ABCD是菱形． 证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN， ∴两个矩形全等， ∴AR=AS， ∵AR?BC=AS?CD， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴AD=AB=BC=CD=5， ∵BE=3， ∴AE=4， ∴DE=5+4=9， ∴矩形BEDG的面积为：3×9=27． 点评： 此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题关键． (责任编辑：admin) |