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28．直线y=x+b与双曲线y= 交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B． （1）直接写出b= ﹣4 ，m= 5 ； （2）根据图象直接写出不等式x+b＜ 的解集为 x＜﹣1或0＜x＜5 ； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值； （2）根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值； （3）求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得． 解答： 解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y=x+b得：﹣5=﹣1+b，解得：b=﹣4． 把A（﹣1，﹣5）代入y= ，得：m=（﹣1）（﹣5）=5． 故答案是：﹣4，5； （2）解集为：x＜﹣1或0＜x＜5， 故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5； （3）OA= = ， 在y=x﹣4中，令x=0，解得y=﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）． 令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）． 故OB=4，AB= = ，BC=4 ，OC=4． ∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°． 过A作AD⊥y轴于点D．则△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°． 1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似； 2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x﹣4， ∠ABO=∠BCD=135°， 当△AOB∽△DBC时， = ，即 = ， 解得：x=6， 则D的坐标是（6，0）； 当△AOB∽△BDC时， ，即 = ， 解得：x=20， 则D的坐标是（20，0）． 则D的坐标是（6，0）或（20，0）． 点评： 本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO=∠BCD=135°是本题的关键． 29．如图①，在矩形ABCD中，AB= ，BC=3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H． （1）求△PEF的边长； （2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论； （3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论． 考点： 相似形综合题． 分析： （1）过P作PQ⊥BC，垂足为Q，由四边形ABCD为矩形，得到∠B为直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF为等边三角形，根据“三线合一”得到∠FPQ为30°，在Rt△PQF中，设出QF为x，则PF=2x，由PQ的长，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即可得到PF的长，即为等边三角形的边长； （2）PH﹣BE=1，过E作ER垂直于AD，如图所示，首先证明△APH为等腰三角形，在根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由PE求出PR，由PA=PH，则PH﹣BE=PA﹣BE=PA﹣AR=PR，即可得到两线段的关系； （3）当若△PEF的边EF在射线CB上移动时（2）中的结论不成立，由（2）的解题思路可知当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE，当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1． 解答： 解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，即AB⊥BC， 又∵AD∥BC， ∴PQ=AB= ， ∵△PEF是等边三角形， ∴∠PFQ=60°， 在Rt△PQF中，∠FPQ=30°， 设PF=2x，QF=x，PQ= ，根据勾股定理得：（2x）2=x2+（ ）2， 解得：x=1，故PF=2， ∴△PEF的边长为2； （2）PH﹣BE=1，理由如下： ∵在Rt△ABC中，AB= ，BC=3， ∴由勾股定理得AC=2 ， ∴CD= AC， ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC，∠PFE=60°， ∴∠FPD=60°， ∴∠PHA=30°=∠CAD， ∴PA=PH， ∴△APH是等腰三角形， 作ER⊥AD于R（如图2） Rt△PER中，∠RPE=60°， ∴PR= PE=1， ∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1． （3）结论不成立， 当1＜CF＜2时，PH=1﹣BE， 当2＜CF＜3时，PH=BE﹣1． 点评： 此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角形的性质．学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系． (责任编辑：admin) |