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22．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． （1）求证：AD=AE． 若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 考点： 等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 应用题． 分析： （1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可； 由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC为等边三角形． 解答： 证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵AE⊥AB， ∴∠E=90°=∠ADB， ∵AB平分∠DAE， ∴∠1=∠2， 在△ADB和△AEB中， ， ∴△ADB≌△AEB（AAS）， ∴AD=AE； △ABC是等边三角形．理由： ∵BE∥AC， ∴∠EAC=90°， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC是等边三角形． 点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够熟练掌握． 23．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形： （1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由； 当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明 ，若不是，请说明理由（可用第一问结论）． 考点： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 分析： （1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE； △AMN是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形． 解答： 解：（1）CD=BE．理由如下： ∵△ABC和△ADE为等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC， ∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC， ∴∠BAE=∠DAC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS） ∴CD=BE； △AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD． ∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， 在△ABM和△ACN中， ， ∴△ABM≌△ACN（SAS）． ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60° ∴△AMN是等边三角形． 点评： 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质． 等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． (责任编辑：admin) |