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27．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长． 考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 分析： 根据角平分线的定义可得∠ABO=∠CBO，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO=∠EBO，从而得到∠ABO=∠EOB，根据等角对等边可得BE=OE，同理可证CF=OF，然后求出△AEF的周长=AB+AC，最后根据三角形的周长的定义解答． 解答： 解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO=∠EBO， ∴∠ABO=∠EOB， ∴BE=OE， 同理可得，CF=OF， ∵△AEF的周长为15， ∴AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=15， ∵BC=7， ∴△ABC的周长=15+7=22． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并求出△AEF的周长=AB+AC是解题的关键，也是本题的难点． 28．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数； （2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由； （3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？ 考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 分析： （1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度； （2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度； （3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE= ∠BAC． 解答： 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵BD=BA， ∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=67.5°， ∵CE=CA， ∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5°， 在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=112.5°， ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度； （2）不改变． 设∠CAE=x ， ∵CA=CE， ∴∠E=∠CAE=x， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x， 在△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x， ∵BD=BA， ∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=x+45°， 在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E， =180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x， ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD， =（90°+x）﹣（x+45°）=45°； （3）∠DAE= ∠BAC． 理由：设∠CAE=x，∠BAD=y， 则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x， ∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x， ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x， ∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x， ∴∠DAE= ∠BAC． 点评： 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题． (责任编辑：admin) |