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24．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC． （1）求∠ECD的度数； （2）若CE=12，求BC长． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）根据线段垂直平分线得出AE=CE，推出∠ECD=∠ A即可； （2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，求出∠BEC=∠B，推出BC=CE即可． 解答： （1）解：∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°． （2）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD=36°， ∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°， ∠BEC=72°=∠B， ∴BC=EC=12． 点评： 本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 25．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由． 考点： 全 等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析： 根据SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可． 解答： 解：BM=BN，BM⊥BN， 理由是：在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB， ∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°， ∴∠ABD=∠DBC=90°， ∵M为AE的中点，N为CD的中点， ∴BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD， ∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBA，∠NCB=∠NBC， ∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB， ∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC， ∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°， ∴∠EBN+∠EBM=90°， ∴BM⊥BN． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力． 26．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求PQ的长； （2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 考点： 勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质． 专题： 动点型． 分析： （1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可； （2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8﹣t，列式求得t即可； （3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t； ②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得t； ③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 解答： 解：（1）BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm， ∵∠B=90°， PQ= = = =2 ； （2）BQ=2t， BP=8﹣t …1′ 2t=8﹣t， 解得：t= …2′； （3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=5， ∴BC+CQ=11， ∴t=11÷2=5.5秒．…1′ ②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12 ∴t=12÷2=6秒．…1′ ③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E， 则BE= = ， 所以CE= ， 故CQ=2CE=7.2， 所以BC+CQ=13.2， ∴t=13.2÷2=6.6秒．…2′ 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 点评： 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用． (责任编辑：admin) |