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26．材料阅读： 在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半． （1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长． 聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）． 连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=150°°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB= ． （2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′= ，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；然后在Rt△APB中，利用勾股定理可求得AB的长； （2）求出∠BEP= （180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°． 由旋转的性质可知：AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC． ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°． ∴△BPP′是等边三角形． ∴PP′= ，∠BP′P=60°． ∵AP′=1，AP=2， ∴AP′2+PP′2=AP2． ∴∠AP′P=90°． ∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°． 在Rt△AP′P中，sin∠APP′= ， ∴∠APP′=30°． ∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°． Rt△APB中，由勾股定理可知：AB= = = ． 故答案为：150°； ． （2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F． 由旋转的性质可知：AE=PC=1，BE=BP= ，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC， ∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°． ∴∠BEP= （180°﹣90°）=45°． 由勾股定理得：EP= =2． ∵AE=1，AP= ，EP=2， ∴AE2+PE2=AP2． ∴∠AEP=90°． ∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°． ∵PE⊥PA，BF⊥AF， ∴∠EBF=∠BEP=45°． ∴∠FEB=∠FBE=45°． ∴FE=BF=1． ∴AF=2． ∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB= ． ∴∠BPC=135°，正方形边长为 ． ∴∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是 ． 【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． (责任编辑：admin) |