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28．如图，△ABC为等边三角形，∠1=∠2=∠3． （1）求∠BEC的度数； （2）△DEF是等边三角形吗？为什么？ 【考点】等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）求∠BEC的度数，可利用180°减去∠BEC的外角进行求解，只要求得∠BEF即可，利用三角形的外角的性质可得答案． （2）根据三个内角都是60度的三角形是等边三角形进行证明． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠3+∠BCE=60°． ∵∠2=∠3， ∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°， ∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=120°． （2）△DEF是等边三角形．理由如下： 由（1）知，∠BEC=120°，则∠DEF=60°． 同理，∠EFD=∠F DE=60°， ∴△DEF是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用外角的性质得到∠BEF=60°是正确解答本题的关键． 29．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC； （2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；压轴题． 【分析】（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可． （2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明△ADC≌△EMC即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°， ∴BD=AD， ∴D在AB的垂直平分线上， ∵AC=BC， ∴C也在AB的垂直平分线上， 即直线CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CDE=15°+45°=60°， ∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°； ∴∠CDE=∠BDE， 即DE平分∠BDC． （2）如图，连接MC． ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°， ∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM． 在△ADC与△EMC中， ， ∴△ADC≌△EMC（AAS）， ∴ME=AD=BD． 【点评】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目． (责任编辑：admin) |