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23．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β． （1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是 α+β=180° ，证明你的结论； （2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时， ①探索角α与β之间的数量关系并证明， ②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明． （3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 α＞β ，线段BC、DC、CE之间的数量关系是 BC+CD＞CE ，并写出证明过程． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）先证∠CAE=∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，即可得出结论； （2）同（1），证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，对应边相等BD=CE，即可得出结论； （3）连接BE，先证明△BAE≌△CAD，得出对应角相等，对应边相等，再根据三角形外角关系和三边关系即可得出结论． 解答： 解：（1）α+β=180°；理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°； （2）α=β；理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， ∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE，即α=β； ∵BD=BC+CD， ∴CE=BC+CD （3）α＞β，BC+CD＞CE；如图所示：连接BE， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE=∠ACD，BE=CD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC+∠ABE+∠DBE=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBE=∠BAC=α， ∵∠DBE＞β， ∴α＞β， ∵BC+BE＞CE， ∴BC+CD＞CE． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键． (责任编辑：admin) |