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27．（12分）（2014秋?长宁区期末）如图，已知△ABC（AB＞AC），在∠BAC内部的点P到∠BAC两边的距离相等，且PB=PC． （1）利用尺规作图，确定符合条件的P点（保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）过点P作AC的垂线，垂足D在AC延长线上，求证：AB﹣AC=2CD； （3）当∠BAC=90°时，判断△PBC的形状，并证明你的结论； （4）当∠BAC=90°时，设BP=m，AP=n，直接写出△ABC的周长和面积（用含m、n的代数式表示）． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 分析： （1）作∠BAC的平分线和线段BC的垂直平分线，两线交于点P，则点P即为所求； （2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC，由点P在∠BAC的平分线上，得到PD=PE，证得Rt△PEB≌Rt△PDC，得到BE=CD，推出Rt△AEP≌Rt△ADP，得到AE=AD，由于AE=AB﹣BE，AD=AC+CD，即可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论； （4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形，推出△AEP是等腰直角三角形，求得AE= AP，即AE= n，由于AE=AD，BE=CD，于是得到AB+AC=AE+AD= n，求得△ABC的周长= （m+n），根据Rt△PEB≌Rt△PDC，得到S△ABC=S四边形ABPC﹣S△BPC= n2= m2． 解答： 解：（1）如图1所示，点P即为所求作的点； （2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC， ∵点P在∠BAC的平分线上， ∴PD=PE， 在Rt△PEB和Rt△PDC中， ， ∴Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴BE=CD， 在Rt△AEP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AEP≌Rt△ADP， ∴AE=AD， ∵AE=AB﹣BE，AD=AC+CD， ∴AB﹣BE=AC+CD， 又∵BE=CD， ∴AB﹣AC=2CD； （3）∵∠BAC=90°， ∴∠EAP=∠PAC=45°， 在Rt△AEP中，∠EAP+∠EPA=90°， ∴∠EPA=45°， 同理∠APD=45°， ∴∠EPD=90°=∠EPC+∠CPD， 由（2）知Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴∠BPE=∠CPD， ∴∠BPE+∠EPC=90°，即∠BPC=90°， 又∵BP=PC， ∴△BPC是等腰直角三角形； （4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形， ∴BC= PB， ∵PB=m， ∴BC= m， ∵AP平分∠BAC，∠CAB=90°， ∴∠EAP=45°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴AE= AP， ∵AP=n， ∴AE= n， ∵AE=AD，BE=CD， ∴AB+AC=AE+AD= n， ∴△ABC的周长= （m+n）， ∵Rt△PEB≌Rt△PDC， ∴S四边形ABPC=S四边形AEPD=AE2= n2， ∵S△ABC=S四边形ABPC﹣S△BPC= n2= m2． 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，正确的作出辅助线是解题的关键． (责任编辑：admin) |