|
24．如图，等边三角形ABC的边长为2，点E是边BC上一动点（不与点B、C重合），以BE为边在BC的下方作等边三角形BDE，连接AE、CD． （1）在运动的过程中，AE与CD有何数量关系？请说明理由． （2）当BE=1时，求∠BDC的度数． 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： （1）如图，证明△ABE≌△CBD，即可解决问题． （2）证明AE⊥BC；证明∠BDC=∠AEB，即可解决问题． 解答： 解：（1）AE=CD；理由如下： 如图，∵△ABC和△BDE等边三角形 ∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°； 在△ABE与△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE=CD． （2）∵BE=1，BC=2 ∴E为BC的中点； 又∵等边三角形△ABC， ∴AE⊥BC； 由（1）知△ABE≌△CBD， ∴∠BDC=∠AEB=90°． 点评： 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是观察图形，准确找出图形中隐含的等量关系、全等关系． 25．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上． （1）求过点A、B两点的直线解析式； （2）在运动的过程中，当△ABC周长最小时，求点C的坐标； （3）在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点C的坐标． 考点： 一次函数综合题．菁优网版权 所有 分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据线段的性质，可得AB′，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值； （3）根据等腰三角形的判定，可得AC=BC，根据解方程，可得C点的坐标． 解答： 解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，图象经过点（2，4）和（3，0），得 ，解得 ， AB两点的直线解析式y=﹣4x+12； （2）如图1： ， 作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点， B′点的坐标是（﹣3，0）， 设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（﹣3，0），（2，4），得 ， 解得 ． AB′的函数解析式为y= x+ ， 自变量的值为零时，y= 当△ABC周长最小时，C点坐标为（0， ）； （3）图2： ， 设C点坐标为（0，a），当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC，平方，得 BC2=AC2，22+（4﹣a）2=32+a2， 化简，得8a=11， 解得a= ， 故点C的坐标为 ． 点评： 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短；（3）利用了等腰三角形的判定． (责任编辑：admin) |