|
26．（24分）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．. 分析： （1）先由直线AB的解析式为y=﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t ），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t） ，然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 解答： 解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c， 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°． 如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t． 在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t=1； 如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t． 在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t= ． 综上所述，当t=1或t= 时，△PQA是直角三角形； （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）． 将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）． （4）如图④所示： 设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t） ． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴点M的坐标为（1，4）． ∴MB= = ． 当△BOP∽△QBM时， 即： ，整理得：t2﹣3t+3=0， △=32﹣4×1×3＜0，无解： 当△BOP∽△MBQ时， 即： ，解得t= ． ∴当t= 时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 点评： 本题主要考查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用，利用含字母t的式子表示出相关线段的长度，根据图形的性质建立关于字母t的方程是解题的关键． (责任编辑：admin) |