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解答： 解：（1）∵直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）， ∵抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两点， ∴ 解得 ∴y=﹣ x2+ x+3． （2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F， ， ∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则点M的坐标是（x，﹣ x+3）， ∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x， ∴S△ABC=S△BEM+S△MEC = = ×（﹣ x2+ x）×4 =﹣ x2+3x =﹣ （x﹣2）2+3， ∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3． （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形． ①如图2， ， 由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣ x+3上， ∴点M的坐标是（2， ）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴ AM= = ， ∴AM所在的直线的斜率是： ； ∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1， ∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 或 ， ∵x＜0， ∴点P的坐标是（﹣3，﹣ ）． ②如图3， ， 由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣ x+3上， ∴点M的坐标是（2， ）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM= = ， ∴AM所在的直线的斜率是： ； ∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1， ∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 或 ， ∵x＞0， ∴点P的坐标是（5，﹣ ）． ③如图4， ， 由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y=﹣ x+3上， ∴点M的坐标是（2， ）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM= = ， ∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1， ∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3）， 则 解得 ， ∴点P的坐标是（﹣1， ）． 综上，可得 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（﹣3，﹣ ）、（5，﹣ ）、（﹣1， ）． 点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力． （2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握． （3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握． (责任编辑：admin) |