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29．（12分）如图，在平面直角坐标系中．顶点为（﹣4，﹣1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B，C两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线上位于B，C两点之间的一个动点，问：当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时四边形ABPC的面积． （3）过点B作AB的垂线交抛物线于点D，是否存在 以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．. 分析： （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可知当P点移动到抛物线的顶点是△PBC的面积最大，根据四边形ABPC的面积的最大值为：S△ABC+S△PBC求得即可； （3）已知∠ABD是直角，若连接圆心和切点（暂定为E），不难看出Rt△OAB、Rt△EBC相似，可据此求出⊙C的半径，再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可． 解答： 解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+4）2﹣1， 把点A（0，3）代入得：3=16a﹣1， 解得a= ， 所以此抛物线的解析式为y= （x+4）2﹣1； （2）令y=0，则0= （x+4）2﹣1； 解得x1=﹣2，x2=﹣ 6， ∴B（﹣2，0），C（﹣6，0）， ∴BC=4， ∵S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC，S△ABC= BCoOA= ×4×3=6， ∴要使四边形ABPC的面积最大，则△PBC的面积最大， ∴当P点移动到抛物线的顶点是△PB C的面积最大， ∴四边形ABPC的面积的最大值为：S△ABC+S△PBC=6+ ×4×1=6+2=8； （3）如图，设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=∠AOB=90°． ∵A（0，3）、B（﹣2，0）、C（﹣6，0）， ∴OA=3，OB=2，OC=6，BC=4； ∴AB= = ， ∵AB⊥BD， ∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°， ∴∠EBC=∠OAB， ∴△OAB∽△EBC， ∴ = ，即 = ∴EC= ． 设抛物线对称轴交x轴于F． ∵抛物线的对称轴x=﹣4， ∴CF=2≠ ， ∴不存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆． 点评： 此题是二次函数的综合题，主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知识点． (责任编辑：admin) |