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21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BF的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析： 因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定． 解答： 答：四边形AFBD是矩形， 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE． 又∵点E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE与△DCE中， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF=CD， 又∵AF=BD， ∴BD=CD． 又∵AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 点评： 本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系． 22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： （1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 解答： 解：（1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一）， ∴∠ADB=90°， ∴?AFBD是矩形． 点评： 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． (责任编辑：admin) |