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三．解答题（共7小题） 16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF． （1）求证：△AEF≌△BED． （2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： （1）AAS或ASA证全 等； （2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证． 解答： 证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠EDB， ∵E为AB的中点， ∴EA=EB， 在△AEF和△BED中， ， ∴△AEF≌△BED（ASA）； （2）∵△AEF≌△BED， ∴AF=BD， ∵AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BD， ∴四边形AFBD是矩形． 点评： 本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大． 17.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD； （2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 证明题；探究型． 分析： （1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形． 解答： 证明： （1）∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=DC， ∵AF=BD， ∴BD=CD； （2）四边形AFBD是矩形． 理由： ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90° ∵AF=BD， ∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC， ∴四边形AFBD是平行四边形， 又∵∠ADB=90°， ∴四边形AFBD是矩形． 点评： 本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识． (责任编辑：admin) |