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18．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E． （1）求证：OE=OD； （2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由． 考点： 矩形的判定；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 常规题型． 分析： （1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB=OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE=OD； （2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点． 解答： 解：（1）∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC； ∵ED∥BC， ∴∠ODB=∠DBC=∠ABD， ∴△OBD为等腰三角形， ∴OB=OD， 在Rt△EBD中，OB=OD，那么O就是斜边ED的中点． ∴OE=OD； （2）∵四边形BDAE为矩形， ∴∠AEB为直角， △AEB为直角三角形； ∵四边形BDAE为矩形， ∴OA=OB=OE=OD， ∵Rt△AEB中，OE=OA=OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形． 点评： 考查了矩形的判定和等腰三角形的判定与性质，用等腰三角形腰长相等和直角三角形斜边中线是斜边的一半可解本题，熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质就可解题． 19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形． 考点： 矩形的判定．菁优网版权所有 专题： 证明题． 分析： 先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形． 解答： 证明：∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE． ∵点E是BC的中点， ∴EC=BE=AD． ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AB=AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC，即∠AEC=90°． ∴?AECD是矩形． 点评： 本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理． 20．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有 分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF； （2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形． 解答： 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD， ∴∠BAE=∠AEC， 又∵CE=CD， ∴AB=CE， 在△ABF和△ECF中， ， ∴△ABF≌△ECF（AAS）； （2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形． ∵四边 形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，∠BCE=∠D， 由题 意易得AB∥EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∵∠AFC=∠FEC+∠BCE， ∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE， ∴FC=FE， ∴四边形ABEC是矩形． 点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． (责任编辑：admin) |