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18．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质． 【专题】探究型． 【分析】（1）根据图形就可以猜想出结论． （2）要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出． （3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立． 【解答】解：（1）AB=AP；AB⊥AP； （2）BQ=AP；BQ⊥AP． 证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP， ∴∠EPF=45°． 又∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ=45°． ∴CQ=CP． ∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中， BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP， ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴BQ=AP． ②如图，延长BQ交AP于点M． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠1=∠2． ∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4， ∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°． ∴∠QMA=90°． ∴BQ⊥AP； （3）成立． 证明：①如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． 又∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ=45°． ∴CQ=CP． ∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中， BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP． ∴BQ=AP． ②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQ C=∠APC． ∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， 又∵∠CBQ=∠PBN， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴QB⊥AP． 【点评】证明两个线段相等可以转化为证明三角形全等的问题．证明垂直的问题可以转化为证明两直线所形成的角是直角来解决． (责任编辑：admin) |