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16．如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点 D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重 合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连结BE并延长，交AC的延长线于点F． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）当△CEF为等腰三角形时，求△CEF的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）由△ABC和△CDE是等边三角形，用“SAS”证得△ACD≌△BCE； （2）首先作CP⊥BF于点P，由∠CBE=30°，求得CP的长，继而求得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形 ∴AC=BC，∠ACB=60°， 同理可证CD=CE，∠DCE=60°， ∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒为直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2， 又因为点D不与点A、O重合， 所以当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角， 如图，作CP⊥BF于点P， 由∠CBE=30°， 得CP= BC=1， 因为CF=EF=2， 所以S△CEF= ×2×1=1． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 17．课本等腰三角形的轴对称性一节，我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． （1）小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中∠BAC为直角，AD为斜边BC上的中线，∠B=30°．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，再证△ABC≌△BAE，你认为小聪能否完成证明？能（只需要填“能”或“不能”）； （2）小聪同学还想借助图②，任意的Rt△ABC为直角，AD为斜边BC上的中线，证明或推翻结论AD= BC，请你帮助小聪同学完成； （3）如图③，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中线AE的长度． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】（1）如图①所示．由三角形内角和定理可求得∠ACB=60°．然后证明△ACD≌△EBD，从而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再证明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD； （2）如图②所示：延 长AD至点E使DE=AD，连结BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD； （3）根据勾股定理得：AC2=5，AB2=20，于是可得到AC2+AB2=BC2．于是得到△ABC是直角三角形，根据结论可知△ABC的中线AE的长度= BC= ． 【解答】解：（1）能． 理由：如图①所示． ∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴∠ACB=60°． 在△ACD和△EBD中， ∴△ACD≌△EBD． ∴∠EBD=∠ACD=60° ，BE=AC． ∴∠ABE=90°． 在Rt△ABE和Rt△BAC中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BAC． ∴BC=AE． ∴BC=2AD． ∴AD= BC． （2）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连结BE． 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD． ∴∠C=∠EBD ∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE． 在△ABC和△BAE中， ， ∴△ABC≌△BAE． ∴AE=BC． ∴BC=AE=2AD ∴ ． （3）∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°． ∵CD=1，AD=2，BD=4， ∴根据勾股定理得：AC2= =5，AB2= =20． ∵AC2=5，AB2=20，BC2=（1+4）2=25， ∴AC2+AB2=BC2． ∴△ABC是直角三角形． ∴△ABC的中线AE的长度= BC= ． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键． (责任编辑：admin) |