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10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．给出以下五个结论： （1）AE=CF；（2）∠APE=∠CPF；（3）三角形EPF是等腰直角三角形；（4）S四边形AEPF= S△ABC；（5）EF=AP， 其中正确的有4个． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）通过证明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF， （2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出结论； （3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出结论； （4）由S四边形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF，就可以得出结论， （5）由条件知AP= BC，当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP，其他情况EF≠AP． 【解答】解：（1）∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°， ∴∠APE=∠CPF．故（1）正确． ∵AB=AC，∠BAC=90° ， ∴∠B=∠C=45°． ∵P是BC的中点， ∴BP=CP=AP= BC．∠BAP=∠CAP=45°． ∴．∠BAP=∠C． 在△AEP和△CFP中 ， ∴△AEP≌△CFP（ASA）， ∴AE=CF，PE=PF，S△AEP=S△CFP，故（2）正确． ∴△EPF是等腰直角三角形．故（3）正确． ∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF． ∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△APC= S△ABC．故（4）正确． ∵△ABC是等腰直角 三角形，P是BC的中点， ∴AP= BC， ∵EF不是△ABC的中位线， ∴EF≠AP ，故（5）错误； ∴正确的共有4个． 故答案为4． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键． 三、操作与计算（本题共2小题，共12分） 11．两城镇A、B与两条公路ME、MF位置如图所示，现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME、MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留 作图痕迹） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 【解答】解：如图：点C即为所求作的点． 【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握垂直平分线和角平分线的性质，以及尺规作图的方法是解决问题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，点P是△ABC三条边上的任意一点．若△ACP为等腰三角形，在图中作出所有符合条件的点P，要求： ①尺规作图，不写作法，保留痕迹； ②若符合条件的点P不只一个，请标注P1、P2… 【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定． 【分析】利用线段垂直平分线的性质以及结合等腰三角形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图，共4个点，分别为P1、P2、P3、P4． 【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握等腰三角形的判定方法是解题关键． 四、解答题（本题共6小题，共54分） 13．小强想知道广场上旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到旗台上还多0.8米，当他把绳子的下端在旗台上拉开2米后，发现下端刚好接触旗台面，你能帮他算出来这根旗杆的高吗？ 【考点】勾股定理的应用． 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出旗杆的高即可． 【解答】解：设这根旗杆的高为x米，则绳子的长为（x+0.2）米， 依题意，得方程 x2+22=（x+0.2）2 解得：x=9.9． 答：这根旗杆的高为9.9米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． (责任编辑：admin) |