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24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F． （1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】作图题． 【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC． 又∵AE=BD， ∴△AEC≌△BDA（SAS）． ∴AD=CE； （2）解： ∵（1）△AEC≌△BDA， ∴∠ACE=∠BAD， ∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°． 【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解． 25．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在线段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F． （1）求证：FD∥CB； （2）若D在线段BA的延长线上，AF是∠CAD的角平分线AM的反向延长线，其他条件不变，如图2，问（1）中结论是否仍成立？并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质． 【分析】（1）易证∠DAF=∠CAF，即可证明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易证∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解题； （2）作AG⊥DF，易证AE=AG，即可证明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易证∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解题． 【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAE， ∴∠DAF=∠CAF， 在△DAF和△CAF中， ， ∴△DAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ACE=∠ADF， ∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°， ∴∠B=∠ACE， ∴∠ADF=∠B， ∴DF∥BC； （2）作AG⊥DF，如图2， ∵AF平分∠CAE，CE⊥AE， ∴AE=AG， 在RT△ADG和RT△AEC中， ， ∴RT△ADG≌RT△AEC（HL）， ∴∠D=∠ACE， ∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠ACE=∠B， ∴∠D=∠B， ∴DF∥BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解题的关键． 26．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）； （2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】动点型． 【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （2）直接利用全等 三角形的对应边相等求解即可； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【解答】解：（1）∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°； 点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小； （2）∵△ABD≌△DCE ∴AB=DC=2； （3）当∠BDA的度数为110°时，△ADE的形状是等腰三角形， 证明：∵∠BDA=110°时， ∴∠ADC=70°， ∵∠C=40°， ∴∠DAC=70°， ∴∠ADC=∠DAC=70°， ∴△ADE的形状是等腰三角形． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． (责任编辑：admin) |