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18．如图所示，已知：矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论． 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF； （2）当EF⊥A C时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴OB=OD（矩形的对角线互相平分） AE∥CF（矩形的对边平行） ∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC（矩形的对角线互相平分） 又∵△BOE≌△DOF ∴OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四 边形是平行四边形） ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 点评： 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理． 19．如图，在?ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F． （1）试说明四边形AECF是平行四边形； （2）当EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形． 考点： 菱形的判定；平行四边形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）要说明四边形AECF是平行四边形，我们可以通过说明AE=CF、AE∥CF或AO=CO、EO=FO． 证△AOE≌△COF可得； （2）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来加以说明． 解答： 解：（1）∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCA，∠AEF=∠CFE． 又AO=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF． ∴四边形AECF是平行四边形；（对角线互相平分的四边形是平行四边形） （2）∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形．（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 点评： 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定． 20．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形． 考点： 菱形的判定；矩形的性质． 专题： 证明题． 分析： 根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形，可证明四边形AECF、BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得GF与EH、EG与FH的关系，根据平行四边形的判定，可得EGFH的形状，根据三角形全等，可得EG与FG的关系，根据菱形的定义，可得证明结论． 解答： 证明：∵在矩形ABCD中AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=DE=BF=CF 又∵AD∥BC， ∴四边形AECF、BEDF是平 行四边形． ∴GF∥EH、EG∥FH． ∴四边形EGFH是平行四边形． 在△AEG和△FBG中， ， ∴△AEG≌△FBG（AAS） ∴EG=GB，AG=GF， 在△ABE和△BAF中 ∵ ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）， ∴AF=BE， ∵EG=GB= BE，AG=GF= AF， ∴EG=GF， ∴四边形EGFH是菱形． 点评 ： 考查了菱形的判定，牢记有关菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大． (责任编辑：admin) |